量子理論

量子理論

　

<<量子化>>

量子(quantum)是什麼?有些人時常說 量子力學甚麼甚麼,其實甚麼叫量子也不明白.其實量子的概念是把物質整數化(而不是小數化),不存在所謂之連續可分性,諸如有些人認為10cm的一半是 5cm,5cm的一半是2.5cm,按道理妳可以無限次分下去,但是量子概念告訴我們這樣分是有盡的.

我舉一個非常顯淺的例子,在提款機妳可以提100元,200元,300元等等,這些都是100的倍數,妳不可以提105元或105.5這些散銀,因為提款機只出紙幣,而不出硬幣,105或105.5對提款機是沒有意義的,不是說這個世界沒有105元喎!只是提款機不能處理零錢.

量子世界也是這樣被量子化(quantization),在上文提款機出錢都是100的倍數,而類似光子波長,我們用4000Å,4001Å....等等,它們都是1Å的倍數,是不是說沒有4000.5Å波長的光呢?不是,只不過在量子力學中沒有意義,波長只可以量子躍遷(quantum leaps)的方法改變,它必須是某一個基本單位(例如1Å)的整數倍數.

關於這些基本單位,我會逐一介紹:

Planck Constant
普朗克常數 (h)

普朗克常數是由一重要公式E=hf(能量=h個波長)導出,h為一個電磁波的能量與它波長之關係.h是每秒6.626x10^-24J,例如4543Å波長的光,每秒就發4543Åh咁多能量.

在很多算式中,h/2p更好用,代號為叫做h上面加一畫,讀h-cross.h-cross也被叫做普朗克常數,其實有沒有2p不太重要,因為它們差別不大.

Planck Length
普朗克長度

引力雖作用無限遠,但在極短距離下(普朗克長度)反而失效,普朗克長度大約是10^-33cm.它是最短之長度.

Planck Time
普朗克時間

光要走過普朗克長度所需之時間,為10^-43秒.是最少之時間單位,任何更少之時間都是無意義.所以宇宙就是在大爆炸後10^-43秒才有意義.

題外話,不是叫普朗克就一定是最少單位,如:

Planck Mass
普朗克質量

一個波長為一個普朗克長度之假想粒子應有之質量,大約是10^-5g,為質子質量之10¹⁹倍,普朗克質量不是最少之質量單位.

Planck Energy
普朗克能量

要製造一個擁有普朗克質量之粒子所需之能量(E=mc²),大約是10¹⁹GeV.

Planck Temperature
普朗克溫度

普朗克能量相對應有之溫度,為10³²K.

Planck Density
普朗克密度

一個長度為普朗克長度,質量為普朗克質量之假想粒子之應有密度.為10⁹⁴g/cm³,比原子核密度高10⁶⁰倍!此假想粒子之密度高得只可存在於大爆炸.

　

<<第二量子化>>

量子化亦被引入場(field),有些人叫它為第二量子化(second qunatization),例如引力不再是一個影響範圍,這種'範圍'之觀念未被太不科學...量子化告訴我們引力是由一些叫做引力子的粒子所傳遞,它們是一些虛粒子,當它們在傳力時我們不可看到它們之存在,例如妳就不會看見兩塊磁石靠近時有光子在中間走過(那會把妳嚇呆!),然而當它們有足夠能量時,就會誕生成為真實粒子,它們就不再傳力,例如我們日常看見之光子就不是在傳力.

在場中的粒子交換通常是用費因曼圖表(Feynman Diagram)來標示,不要看它只是輸入輸出,它背後的含意可以是很複雜,例如兩條直線之交點就其實涉及多條數式(例如麥斯威爾方程,薛汀格方程等),當然這份教材是給初學者讀,所以我是盡量不涉及數式(那要花費我好幾倍的時間整理資料),亦因此我並不打算在往後利用費因曼圖表.

(圖: LKL Astro-Group)

　

<<非阿培爾族>>

關於量子力學的演算,不得不題非阿培爾族(non-Abelian group),因為常涉及矩陣(matrix),在平時的加數或乘數演算中,項次倒轉也不會影響答案,例如axb=bxa或a+b=b+a,叫做阿培爾族(Abelian Group),明顯地,減法及除法都不屬於阿培爾族,而在量子力學中,常出現所謂的矩陣換算(matrix mechanics),連加法及乘法也不屬阿培爾族!!!axb不會等如bxa!!!

當 然,假如妳不是唸Pure Maths的話,是很難理解的,我舉一個簡單的例子,有四種樹,分別是鮮花,矮叢,灌木及喬木.我們想知道種植每一種植物該用多少水(假設是一升,兩升, 三升及四升的水),我們會逐一試驗,但我們並不想把十六株樹都排成同一行,因為一條狹長的田是罕有的,故我們把樹排成4x4的矩陣圖:

矩陣一

(圖: LKL Astro-Group)

可是後來我們發現,這樣排列不夠美觀,因為從後望去,所有喬木都會把鮮花遮蔽,於是我們重新排列,令到任何花木都不成一直線:

矩陣二

(圖: LKL Astro-Group)

我 們表示一棵樹之位置時,我們可以用行列法,例如第二行第三列樹,我們可以寫成BoC=A,第三行第三列樹自然就是CoC=C(圈圈o的作用和乘號x類 似),我們可以看到矩陣中AoA=A,BoB=B,CoC=C,DoD=D,這個法則叫做冪等,很容易看出一個矩陣中是不是冪等,因為主對角線上讀起來應 該和列和行一樣.所以矩陣一及矩陣二都是冪等.

可是以上兩個矩陣都不滿足另一特性:交換律,AoB=C,然而BoA=D,AB倒轉會令答案不同,這種數叫做非阿培爾族,在4階(4x4)矩陣中不存在既是冪等又可交換的矩陣,而只有不是冪等的可交換矩陣,如下圖:

矩陣三

(圖: LKL Astro-Group)

事 實上,所有階數都存在冪數的矩陣,另外,所有階數都存在可交換的矩陣,但只有奇數階的冪等矩陣存在可交換解,偶數階的冪等矩陣是絕不能被交換的(非阿培爾 族),至於為什麼,妳不需要知道,因為那涉及高等數論的反證法(大概是若存在偶數階的冪等可交換矩陣,矩陣將既是奇數也是偶數, contradiction,故不存在偶數階的冪等可交換矩陣).

　

<<散射>>

量子理論最先引入的是散射(scattering),散射主要有三種:

• 彈性散射(elastic scattering):進入粒子經散射後沒有動能轉變(電子撞電子時同電荷分開)
• 非彈性散射(inelastic scattering):進入粒子經散射後有動能轉變(桌球撞桌球就有一部份動能轉化做熱能)
• 深入非彈性散射(deep inelastic scattering):進入粒子經散射後所有動能均轉化成熱能(電子撞正電子化成光子).

散射是一門高深的學問,在所謂的拉曼效應中(Raman Effect)發現利用單一波段(舉例如4140Å的波段)光子進入粒子堆時,有些光子的波長會變長(如變成4150Å),有些波長會變短(如變成4130Å),由於粒子的運動是隨機(布朗運動Brownian Motion),變長變短只可用統計原理計出.

拉 曼認為海之所以是藍色,並不是因陽光被海裡的懸浮粒子散射所造成,而是因陽光被水分子散射所造成,就如藍天是因空氣中的分子而非懸浮粒子所造成,短波最容 易被散射出來,令海天都是藍色.同一個情形亦會出現在X射線,X射線或伽瑪射線與電子撞擊,光子會損失能量,波長增加,叫做康普頓效應(Compton Effect).

(圖: LKL Astro-Group)

其 中一些衛道之士利用康普頓效應來批評大爆炸是無的放矢.他們認為類星體都是矇查查,相信是被自由電子包圍,類星體發出之光經過自由電子會出現強勁康普頓效 應,所以宇宙紅移暗示星系並不是遠離我們(多普勒效應),而是因為星系的光來我們前受到星際電子(不可否認的是星際空間中的確有電子與正電子對不斷配對誕 生)不斷散射,假如那是真的話,類星體將比想像中近.

另 外,我閱讀了一篇<>之論文,其中挑戰大爆炸的原因還包括發現很多星體比大爆炸宇宙年齡(120億年)要老,巨牆組織也相信要百多億年才能形成,我們 銀河系若只得120億年壽命的話,頂多只轉得45-60圈而不足以形成旋渦狀,最大問題是大爆炸出現了奇點,令他們追問大爆炸前是甚麼,這個問題不好惹.

　

<<混亂理論>>

量子理論也不是只用於物理,例如量子理論就被利用來解釋另一理論－混亂理論(Chaos Theory).混亂理論是近年興起得極快之理論,大學數學系也有得讀,混亂理論其中一個中心概念是蝴蝶效應(butterfly effect),它是說北京一隻蝴蝶振翅,會輕微改變氣壓,這些擾動又改變附近地方的氣壓,於是一傳十,十傳百傳開去,一個月後芝加哥就會因氣壓被改變而下雨.

很無稽,對不?然而在一個非線性(non-linear system)系統中,開始時的任何小干擾都會以指數(exponentially)增加,即1秒後變成相差4倍,之後是8倍,16倍等等,而導致系統隨時間增長而越來越不可測.

這種預計錯誤是源於我們對系統之開始的認識不夠精確及太多變數.

線性系統可以用這樣的圖像表示,一塊鉛向下墜就算有風向及其他外力因素,鉛幾乎是以直線向下墜,就算一開始我們改變了它的位置,我們也大概猜到它的落點.然而非線性系統可以以一個圓上的一點作起始,它的落點可以是四方八面,所以結果完全依賴外界之干擾.

(圖: LKL Astro-Group)

複 雜系統(complex system)之難測性似乎是不可避免,例如天氣,由於起始變數太多,而我們亦知得不夠全面,我們不能確實預測天氣(天文台有多少次是準確大家也心裡有數 吧!),由於沒有必然性,故自然系統中難以預料下一秒或將來之命運,量子力學是一門統計學,所以要解決非線性系統之不可測性可借助量子力學.